a) ∫ cos 2 ⁡ 5 x d x  

Passo 1

Esse tipo de questão é bem comum de aparecer, então vamos entender a ideia para resolver.

Primeiro vamos fazer a seguinte substituição:

u = 5 x

Derivando,

d u = 5 d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era:

I = ∫ cos 2 ⁡ 5 x d x

E vai ficar assim ó:

I = ∫ cos 2 ⁡ u d u 5 = 1 5 ⋅ ∫ cos 2 ⁡ u d u  

Lá da trigonometria, temos:

cos 2 ⁡ u = cos ⁡ 2 u + 1 2

Logo,

I = 1 5 ⋅ ∫ cos ⁡ 2 u + 1 2 d u = 1 10 ⋅ ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 10 ⋅ ∫ d u

Passo 3

Agora bora finalizar!

I = 1 10 ⋅ ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 10 ⋅ ∫ d u

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

I = 1 10 ⋅ s e n 2 u 2 + 1 10 ⋅ u + c

Voltando para variável x :

u = 5 x

Então,

I = s e n 10 x 2 0 + x 2 + c

Resposta

s e n 10 x 20 + x 2 + c

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