Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x z e y   i - x z e y   j + z   k   ,

S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orientação para baixo.

Passo 1

Galera, aqui temos z = g x ,   y = 1 - x - y , e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para baixo:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A

onde F = P   i + Q   j + R   k = x z e y   i - x z e y   j + z   k . Então,

∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A = ∫ ∫ D x z e y - 1 - x z e y - 1 - z d A = ∫ ∫ D - z d A

Passo 2

Além disso, teremos D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1 - x } , e devemos substituir z = 1 - x - y :

∫ ∫ D - z d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ - 1 + x + y ]   d y   d x = ∫ 0 1 - y + x y + y 2 2 y = 0 y = 1 - x d x = ∫ 0 1 - x 2 2 + x - 1 2 d x = - x 3 6 + x 2 2 - x 2 0 1 = - 1 6 + 1 2 - 1 2 = - 1 6

Resposta

- 1 6

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