Sejam gamma: [a, b] → R^n e delta: [c, d] -> R^n duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista g: [c, d] -> [a, b] , com derivada contínua e tal que g'(u) > 0 em [c, d] . Suponha, ainda, g(c) = a, g(d) = b e, para todo u ∈ [c, d] , delta(u) = gamma(g(u)) . Prove:

  1. Im gamma = Im delta
  2. L(gamma) = L(delta)

Passo 1

  1. Temos que γ : a , b → R n e que g : c , d → a , b , então podemos afirmar que γ g u , com u ∈ c , d abrange toda a curva γ , ou seja, toda a imagem da função γ .
  2. Como temos a curva δ : c , d → R n e como u ∈ c , d , δ ( u ) abrange toda a imagem de δ . Já que estamos assumindo que δ u = γ g u , podemos afirmar que

    I m   γ = I m   δ

    Para todo u ∈ c , d .

    Passo 2

  3. Como as imagens de γ e δ são iguais e como para todo u ∈ [ c , d ] temos δ u = γ g u , é natural a afirmação de que os comprimentos das duas curvas são iguais, isso porque, para cada d u temos a mesma variação na derivada, garantida pela igualdade e assumindo que os valores iniciais g c = a   e g d = b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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