Enunciado

Calcule o comprimento da curva

x = a (cos theta + theta s e n theta) , y = a (s e n theta - theta cos theta) , 0 <= theta <= pi

Passo 1

O problema fornece a curva parametrizada

x = a (cos theta + theta s e n theta) , y = a (s e n theta - theta cos theta) , 0 <= theta <= pi

e quer que encontremos o seu comprimento. Para isso, você precisa usar a expressão explicada no livro:

L = int_(alpha)^(beta) sqrt(((d y)/(d theta))^2 + ((d x)/(d theta))^2) d theta

Assim,

(d y)/(d theta) = a (- s e n theta + s e n theta + theta cos theta) = a theta cos theta

(d x)/(d theta) = a (cos theta - cos theta + theta s e n theta) = a theta s e n theta

Logo,

((d y)/(d theta))^2 + ((d x)/(d theta))^2 = a^2 theta^2 (cos^2 theta + s e n^2 theta) = a^2 theta^2

Passo 2

Com isso, podemos achar o comprimento de arco:

L = int_0^(pi) a theta d theta

Calculando a integral:

L = ((a theta^2)/(2))_0^(pi) = (a pi^2)/(2)

Resposta

L = (a pi^2)/(2)

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Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se: a ) Parametrice as curvas C 1 e C 2 .
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