Enunciado

Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se:

a ) Parametrice as curvas C 1 e C 2 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar por C 1 que é uma reta, usamos a equação da reta:

y = a x + b

E usamos dois pontos conhecidos:

0,0

( 2,2 )

Assim substituimos na equação da reta e formamos um sisteminha:

0 = a 0 + b 2 = a 2 + b

Resolvendo encontramos:

a = 1

b = 0

Logo temos a equação:

y = x

E podemos escrever de forma parametrizada:

σ 1 = t , t ;   - 2 ≤ t ≤ 2

Passo 2

Belezinha, agora para a circunferência, que a equação geral é:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2

E sabemos que o raio é r = 2 . E temos pontos:

2,2

0,4

Substituimos os valores na equação e montamos um sisteminha:

( 2 - a ) 2 + ( 2 - b ) 2 = 2 2 ( 0 - a ) 2 + ( 4 - b ) 2 = 2 2

E montamos a equação da reta:

x 2 + y - 2 2 = 2 2

Então, podemos escrever de forma paramétrizada assim:

σ 2 = 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sin ⁡ t

Passo 3

Por fim, a gente precisa encontrar o intervalo em radiano, notamos que começa no ângulo 0 , mas onde acaba precisamos usar trigonometria para encontrar:

sin ⁡ θ = 2 - 2 - 2 2

→ sin ⁡ θ = - 2 2

→ θ = 5 π 4

Logo temos o intervalo:

0 ≤ t ≤ 5 π 4

Resposta

σ 1 = t , t ;   - 2 ≤ t ≤ 2

σ 2 = 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sin ⁡ t ;   0 ≤ t ≤ 5 π 4

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