Enunciado

5-Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ t = ( t - s e n   t ,   1 - cos ⁡ t ) ,         0 ≤ t ≤ 2 π

b)Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [ t 1 ,   t 2 ]

Passo 1

b)Galera, aqui nós temos uma curva parametrizada, σ t , desde o ponto P 0 correspondente a t = t 0 até um ponto P correspondente a t , t ≥ t 0 . Portanto,

s t = ∫ t 0 t σ ´ u   d u

E é isso que através dessa fórmula que a gente vai encontrar o espaço percorrido pela nossa partícula, fechou ?! Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função:

σ ´ t = ( 1 - cos ⁡ t ,   s e n   t )

Então,

σ ´ t = 1 - c o s t 2 + s e n 2 t

σ ´ t = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t  

= 2 - 2 cos ⁡ t

Temos que,

σ ´ u = 2 - 2 cos ⁡ u

Passo 3

Assim,

s t = ∫ t 0 t 2 - 2 cos ⁡ u   d u = ∫ t 0 t 2 1 - cos ⁡ u d u

Acho que a pergunta é: Como vamos desenrolar essa integral ???

Cara, podemos usar essa identidade trigonométrica:

1 - cos ⁡ x = 2   s e n 2 x 2

Substituindo na nossa integral:

s t = 2   ∫ t 0 t 2   s e n 2 u 2 d u = 2 ∫ t 0 t s e n   u 2 d u

Lembrando que:

∫ s e n   a x =   - ( cos ⁡ ( a x ) ) / a  

Dessa forma,

s t = 2 ∫ t 0 t s e n   u 2 d u = - 4 cos ⁡ u 2 t 0 t

s t = - 4 cos ⁡ t 2 - ( - 4 cos ⁡ t 0 2 )  

Passo 4

Trocando os valores de t que descobrimos no item a , temos: t 0 = π 3 ,   t = 5 π 3

s t = - 4 cos ⁡ t 2 - ( - 4 cos ⁡ t 0 2 )  

s t = - 4 cos ⁡ 5 π 6 + 4 cos ⁡ π 6

s t = 4 3 2 + 4 3 2

s t = 4 3

Ufaaa acabamos, até próxima!

Resposta

4 3

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Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = cos ⁡ 2 t ,s e n 2 t ,t ∈ 0 , π 2
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: x = 2 c o s t ,y = 4 t ,z = 2 s e n t ,t ∈ 0 , π 2
Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 .
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:d)σ t = t ,3 t 2
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por σ t = t - sin ⁡ t ,1 - cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π a) Determine os intantes t 1 , t 2∈ 0,2 π onde v t = 1