1. Calcule o comprimento da curva dada:

d)

γ(t) = (e^(-t) cos(t), e^(-t) sen(t), e^(-t)), t ∈ [0, 1]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Que nos dá o comprimento da curva γ entre os pontos a , b . Primeiro vamos achar γ ' t .

γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t s e n t ,   e - t )

Derivando,

γ ' t = - e - t cos ⁡ t - e - t s e n t ,   - e - t s e n t + e - t cos ⁡ t ,   - e - t

Não esquece da regra da cadeia!

Passo 2

Agora, vamos encontrar γ ' t e em seguida integrar,

γ ' t = - e - t cos ⁡ t - e - t s e n t 2 + (   - e - t s e n t + e - t cos ⁡ t ) 2 + - e - t 2

Assim,

γ ' t = e - t 2 s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t + 1

Da trigonometria:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Logo,

γ ' t = e - t 3

Passo 3

Integrando, temos:

L γ = ∫ 0 1 γ ' t d t

Isto é,

L γ = ∫ 0 1 e - t 3 d t

Tirando o 3 da integral:

L γ = 3 ∫ 0 1 e - t d t

Não esquece: ∫ e - x d x = - e - x + k

L γ = 3 - e - t 0 1

Fazendo as contas:

L γ = 3 - e - 1 - - e 0

Portanto,

L γ = 3 1 - e - 1

Resposta

L γ = 3 1 - e - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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