Enunciado

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

r → t = 2 t , 2 3 8 t 3 ,   t 2 ,   t ∈ [ 0,3 ]

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

r → t = 2 t , 2 3 8 t 3 ,   t 2

Derivando,

r ' → t = 2 , 2 3 × 3 2 8 t ,   2 t

r ' → t = 2 , 8 t ,   2 t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = 2 2 + 8 t 2 + 2 t 2

r ' → t 2 = 4 t 2 + 8 t + 4

Botando o 4 em evidência:

r ' → t 2 = 4 t 2 + 2 t + 1

r ' → t 2 = 4 t + 1 2

E portanto, o módulo vai ser:

r ' → t = 2 ( t + 1 )

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t 2 ( t * + 1 ) d t *

Integrando:

s t = 2 t * 2 2 + t * 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = t 2 + 2 t

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = t 2 + 2 t

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s . Pra isso vamos resolver a equação do segundo grau em t .

t 2 + 2 t - s = 0

t = - 2 ± 2 2 - 4 - s 2

Simplificando,

t = - 1 ± 1 + s

A raiz é sempre positiva, certo? Então se usarmos o sinal de menos, ficaria - 1 menos alguma coisa, que é menor que - 1 . Só que o t tá entre 0 e 3 , que ele disse no enunciado, então esse sinal não serve. Por isso, ficamos só com o positivo!

t = - 1 + 1 + s

Vamos ajeitar também os limites. Se t ∈ [ 0 ,   3 ] , vamos ter:

s 0 = 0 2 + 2 0 = 0

s 3 = 3 2 + 2 3 = 15

Então,

s ∈ [ 0 ,   15 ]

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = 2 t , 2 3 8 t 3 ,   t 2

h → s = r → t ( s ) = 2 - 1 + 1 + s , 2 3 8 - 1 + 1 + s 3 ,   - 1 + 1 + s 2

Resposta

2 - 1 + 1 + s , 2 3 8 - 1 + 1 + s 3 ,   - 1 + 1 + s 2 ,   s ∈ [ 0 ,   15 ]

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