Enunciado

Escrever a função comprimento de arco de:

vec r (t) = (c o s 2 t , s e n 2 t) , t in [ 0 , pi ]

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s (t) = int_a^t |vec r^' (t^*)| d t^*

O que a gente vai fazer então é derivar a função vec r ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função vec r ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Derivando,

vec r^' (t) = (- 2 s e n (2 t) , 2 cos (2 t))

Show.

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

|vec r^' (t)|^2 = (- 2 s e n (2 t))^2 + (2 cos (2 t))^2

Desenvolvendo as contas:

|vec r^' (t)|^2 = 4 s e n^2 (2 t) + 4 cos^2 ( 2 t )

Botando o 4 em evidência:

|vec r^' (t)|^2 = 4 (s e n^2 (2 t) + cos^2 (2 t))

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

|vec r^' (t)|^2 = 4

Portanto, o módulo vai ficar:

|vec r^' (t)| = 2

Resultado engraçado, né? Mas vambora, segue o baile.

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s (t) = int_0^t |vec r^' (t^*)| d t^*

s (t) = int_0^t 2 d t^*

Integrando:

s (t) = (2 t)_0^t

Substituindo os limites de integração:

s (t) = 2 t - 2 ( 0 )

s (t) = 2 t

E esse comprimento vale para [0 , pi] .

Resposta

s (t) = 2 t , t in [0 , pi]

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