Escrever a função comprimento de arco de:

r(t) = (cos2t, sen2t), t ∈ [0, pi]

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Derivando,

r ' → t = - 2 s e n 2 t , 2 cos ⁡ 2 t

Show.

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = - 2 s e n 2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2

Desenvolvendo as contas:

r ' → t 2 = 4 s e n 2 2 t + 4 cos 2 ⁡ ( 2 t )

Botando o 4 em evidência:

r ' → t 2 = 4 s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ 2 t

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

r ' → t 2 = 4

Portanto, o módulo vai ficar:

r ' → t = 2

Resultado engraçado, né? Mas vambora, segue o baile.

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t r ' → t * d t *

s t = ∫ 0 t 2 d t *

Integrando:

s t = 2 t 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 2 t - 2 ( 0 )

s t = 2 t  

E esse comprimento vale para 0 , π .

Resposta

s t = 2 t ,   t ∈ 0 , π

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