Enunciado

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

h → s = 2 cos ⁡ s ,   2 s e n   s ,   s ∈ 0,2 π

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função h → ( s ) é:

h → s = 2 cos ⁡ s ,   2 s e n   s

Derivando,

h ' → s = - 2 s e n   s , 2 cos ⁡ s

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

h ' → s 2 = - 2 s e n   s 2 + 2 cos ⁡ s 2

Desenvolvendo,

h ' → s 2 = 4 s e n 2 s + 4 cos 2 ⁡ s  

Apareceu a relação fundamental da trigonometria!

h ' → s 2 = 4  

h ' → s = 2

Bom, como o módulo não é unitário, então essa função não está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = a cos 3 ⁡ t ,as e n 3 t ,t ∈ 0 , π 2
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r → t = cos ⁡ 2 t ,s e n 2 t ,t ∈ 0 , π 2
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: x = 2 c o s t ,y = 4 t ,z = 2 s e n t ,t ∈ 0 , π 2
Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 .
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:d)σ t = t ,3 t 2