Enunciado

Calcule o comprimento exato da curva polar:

r = 5^(theta)

0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Para encontrarmos o comprimento desejado,devemos lembrar que o comprimento de arco é dado por:

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

Temos que r = 5^(theta) , logo:

(d r)/(d theta) = 5^(theta) l n 5

Passo 2

Aplicando na equação do arco, temos:

L = int_0^(pi) sqrt(( 5^(theta) )^2 + ( 5^(theta) l n 5 )^2) d theta = int_0^(pi) sqrt(5^(2 theta) ( 1 + (l n 5)^2 )) d theta = sqrt(1 + (l n 5)^2) int_0^(2 pi) 5^(theta) d theta

Passo 3

Essa integral é:

int_0^(2 pi) 5^(theta) d theta = (1)/(l n 5) (5^(2 pi) - 5^0) = (1)/(l n 5) ( 5^(2 pi) - 1 )

Dessa forma, temos:

L = sqrt(1 + (l n 5)^2) * (1)/(l n 5) ( 5^(2 pi) - 1 )

Resposta

O arco possui comprimento de sqrt(1 + (l n 5)^2) * (1)/(l n 5) ( 5^(2 pi) - 1 ) .

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