Enunciado

7. Calcule

a ) int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) . No nosso caso, precisamos substituir a = x . Temos então,

int cos^2 x d x = int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2)) d x

Passo 2

Agora precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Sendo c , a e k constantes. Logo,

int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2)) d x = (1)/(2) x + (1)/(2) * (sin 2 x)/(2) + k = (1)/(2) x + (sin 2 x)/(4) + k

Passo 3

Substituindo o intervalo de integração

int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x = (1)/(2) ((pi)/(8)) + (sin (2 (pi)/(8)))/(4) - (0 + (sin 0)/(2)) = (pi)/(16) + (sin ((pi)/(4)))/(4) = (pi)/(16) + ((sqrt(2))/(2))/(4) = (pi)/(16) + (sqrt(2))/(8)

Resposta

Portanto, temos que

int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x = (pi)/(16) + (sqrt(2))/(8)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [ 0 ,b ] .53. y = 2 x
Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.68. ∫ - 1 1 x ³ d x ³
Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.58. f x = 3 x 2 - 3 em [ 0 ,1 ]
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.47. ∫ 1 2 3 u ² d u ²
Integrais de funções não positivas. Mostre que, se f for integrável, então: f x ≤ 0e ma ,b ⇒∫ a b f x d x ≤ 0