7. Calcule

a ) ∫ 0 π 8 cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ α = 1 2 + cos ⁡ 2 a 2 . No nosso caso, precisamos substituir a = x . Temos então,

∫ cos 2 ⁡ x   d x =   ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 d x      

Passo 2

Agora precisamos lembrar que,   ∫ c   d x = c x + k   e ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Sendo c ,   a e k constantes. Logo,

∫ 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 d x   = 1 2 x + 1 2 * sin ⁡ 2 x 2 + k = 1 2 x + sin ⁡ 2 x 4 + k

Passo 3

Substituindo o intervalo de integração

∫ 0 π 8 cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 π 8 + sin ⁡ 2 π 8 4 - 0 + sin ⁡ 0 2 = π 16 + sin ⁡ π 4 4 =   π 16 + 2 2 4 = π 16 + 2 8    

Resposta

Portanto, temos que

∫ 0 π 8 cos 2 ⁡ x   d x = π 16 + 2 8

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