e) ∫ cos 3 ⁡ ( x ) s e n 7 ( x ) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ cos 3 ⁡ ( x ) s e n 7 ( x ) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = c o s x d x

Isolando o fator cos ⁡ ( x ) d x , temos:

∫ cos 3 ⁡ ( x ) s e n 7 ( x ) d x = ∫ c o s 2 x s e n 7 ( x ) ⋅ cos ⁡ x d x

Como nossa substituição é u = s e n ( x ) , seria bom colocar o cos 2 ⁡ ( x )   em função de u !!

Lá da trigonometria, temos:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Logo,

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 - u 2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ c o s 2 x s e n 7 ( x ) ⋅ cos ⁡ x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 1 - u 2 u 7 d u = ∫ 1 - u 2 u 7 d u

Quebrando em duas partes:

I = ∫ d u u 7 - ∫ d u u 5

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando, temos:

I = u - 7 + 1 - 7 + 1 - u - 5 + 1 - 5 + 1 + c

Fazendo as contas:

I = - 1 6 ⋅ u 6 + 1 4 ⋅ u 4 + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = - 1 6 ⋅ s e n 6 x + 1 4 ⋅ s e n 4 ( x ) + c

Resposta

- 1 6 ⋅ s e n 6 x + 1 4 ⋅ s e n 4 ( x ) + c

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