Calcule:

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, e x e cos ⁡ x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso, tanto faz qual vamos escolher como u   o u   d v , porque as duas escolhas ficam assim:

u = cos ⁡ x → d u = - sin ⁡ x d x   e   v = e x → d v = e x d x

u = e x → d u = e x d x   e   v = sin ⁡ x → d v = cos ⁡ x d x

Vamos ver que quando montarmos a integral vai cair em outra integração por partes e por isso tanto faz qual você escolhe, no fim vai dar no mesmo, vamos escolher a primeira:

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x - ∫ e x - sin ⁡ x d x π 2 0

Passo 2

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x - ∫ e x - sin ⁡ x d x π 2 0

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x π 2 0

Temos a integral ∫ e x sin ⁡ x d x que vai cair numa integração por partes de novo

Vamos usar: u = sin ⁡ x → d u = cos ⁡ x d x   e   v = e x → d v = e x d x

∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Agora que temos ∫ e x sin ⁡ x d x vamos substituir:

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x π 2 0

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x π 2 0

Dá pra ver que dos dois lados temos a equação ∫ e x cos ⁡ x d x , podemos então passar pro outro lado e somar:

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x π 2 0 - ∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x + ∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x π 2 0

2 ∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x π 2 0

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = 1 2 e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x π 2 0

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F x é uma primitiva de f x , então podemos dizer que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Então vamos usar que o nosso F x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x , e a = π 2   e   b = 0 :

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = 1 2 e π 2 cos ⁡ π 2 + e π 2 sin ⁡ π 2 - e 0 cos ⁡ 0 + e 0 sin ⁡ 0

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = 1 2 e π 2 0 + e π 2 1 - 1 1 + 1 0

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = 1 2 e π 2 - 1 = e π 2 - 1 2

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e π 2 - 1 2

Resposta

∫ 0 π 2 e x cos ⁡ x d x = e π 2 - 1 2

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