Calcule a integral.

∫ 0 1 2 cos - 1 ⁡ x d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = cos - 1 ⁡ x e d v = d x :

d u = - d x 1 - x 2 e v = x

Vamos substituir agora:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x - ∫ - x d x 1 - x 2 = x cos - 1 ⁡ x + ∫ x d x 1 - x 2

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora vamos usar uma substituição:

u = 1 - x 2

d u = - 2 x d x → x d x = - d u 2

Vamos substituir agora:

∫ x d x 1 - x 2 = ∫ - 1 2 u d u   = ∫ - u - 1 2 2 d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim vamos ficar com:

∫ - u - 1 2 2 d u   = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u   = - 1 2 . u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ - u - 1 2 2 d u   = - u + C = - 1 - x 2 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x + ∫ x d x 1 - x 2 = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 1 2 cos - 1 ⁡ x d x = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2 0 1 2 = 1 2 cos - 1 ⁡ 1 2 - 1 - 1 2 2 - 0 . cos - 1 ⁡ 0 - 1 - 0 2 = 1 2 . π 3 - 3 2 + 1 = π 6 - 3 2 + 1

Resposta

∫ 0 1 2 cos - 1 ⁡ x d x = π 6 - 3 2 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados