Calcule a integral.

∫ 0 π t sen ⁡ 3 t d t

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = t e d v = sen ⁡ 3 t d t :

d u = d t e v = - cos ⁡ 3 t 3

Vamos substituir agora:

∫ t sen ⁡ 3 t d t = - cos ⁡ 3 t 3 t - ∫ - cos ⁡ 3 t 3   d t = - t cos ⁡ 3 t 3 + ∫ cos ⁡ 3 t 3   d t

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Assim vamos ficar com:

∫ cos ⁡ 3 t 3   d t = 1 3 ∫ cos ⁡ 3 t   d t = 1 3 sen ⁡ 3 x 3 + C = sen ⁡ 3 x 9 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ t sen ⁡ 3 t d t = - t cos ⁡ 3 t 3 + ∫ cos ⁡ 3 t 3   d t = - t cos ⁡ 3 t 3 + sen ⁡ 3 x 9 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 π t sen ⁡ 3 t d t = - t cos ⁡ 3 t 3 + sen ⁡ 3 x 9 0 π = - π cos ⁡ 3 π 3 + sen ⁡ 3 π 9 - - 0 . cos ⁡ 3 . 0 3 + sen ⁡ 3 . 0 9 = π 3 + 0 - - 0 + 0 = π 3

Resposta

∫ 0 π t sen ⁡ 3 t d t = π 3

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