Esboce o gráfico.

y = (4x + 3x^2) / (1 + x^2)

Passo 1

Vamos primeiros olhar o domínio dessa função. Não podemos ter o denominador nulo e como x 2 > 0 o denominador da nossa função nunca irá se anular, então o nosso domínio é o conjunto dos números reais.

Passo 2

Vamos determinar agora os intervalos onde essa função é crescente e onde ela é decrescente. Para isso precisamos calcular a derivada desse carinha

y ' = 4 x + 3 x 2 1 + x 2 = 4 + 6 x 1 + x 2 - 4 x + 3 x 2 2 x 1 + x 2 2

y ' = 4 + 4 x 2 + 6 x + 6 x 3 - 8 x 2 - 6 x 3 1 + x 2 2 = - 4 x 2 + 6 x + 4 1 + x 2 2

y ' = - 2 2 x 2 - 3 x - 2 1 + x 2 2

Lembrando que nessa continha usamos a regra da divisão!

O denominador sempre será positivo, então basta olhar o sinal do numerador. Como é uma equação do segundo grau temos que resolver que nem lá no ensino médio

x = 3 ± - 3 2 - 4 2 - 2 2 2 = 3 ± 9 + 16 4 = 3 ± 25 4 = 3 ± 5 4

Ou x = 2 ou x = - 1 / 2 .

Podemos usar a seguinte fatoração

2 x 2 - 3 x - 2 = 2 x 2 - 3 x 2 - 1 = 2 x - 2 x + 1 2

Então finalmente a nossa derivada fica

y ' = - 4 x - 2 x + 1 2 1 + x 2 2

Agora podemos olhar os sinais!

Quando x > 2 , temos que x - 2 > 0 e x + 1 2 > 0 . Como a expressão tem um sinal de menos na frente vamos ter que y ' < 0 para x > 2 , , ou seja, a função é decrescente nesse intervalo.

Quando 1 2 < x < 2 , temos que x - 2 < 0 e x + 1 2 > 0 . Como a expressão tem um sinal de menos na frente vamos ter que y ' > 0 para 1 2 < x < 2 , ou seja, a função é crescente nesse intervalo.

Quando x < 1 / 2 , temos que x - 2 < 0 e x + 1 2 < 0 . Como a expressão tem um sinal de menos na frente vamos ter que y ' < 0 para x < 1 2 , ou seja, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 3

Agora vamos olhar a concavidade da curva. Pra isso precisamos da derivada segunda da função!

y ' ' = y ' ' = - 2 2 x 2 - 3 x - 2 1 + x 2 2 ' = - 2 2 x 2 - 3 x - 2 1 + x 2 2 '

De novo vamos usar a regra da divisão! As derivadas separadas do numerador e do denominador são

2 x 2 - 3 x - 2 ' = 4 x - 3

1 + x 2 2 ' = 2 1 + x 2 2 x = 4 x + 4 x 3

Juntando isso tudo

y ' ' = - 2 4 x - 3 1 + x 2 2 - 4 x + 4 x 3 2 x 2 - 3 x - 2 1 + x 2 4

y ' ' = - 2 4 x - 3 1 + 2 x 2 + x 4 - 8 x 3 - 12 x 2 - 8 x + 8 x 5 - 12 x 4 - 8 x 3 1 + x 2 4

y ' ' = - 2 4 x + 8 x 3 + 4 x 5 - 3 - 6 x 2 - 3 x 4 - 8 x 3 + 12 x 2 + 8 x - 8 x 5 + 12 x 4 + 8 x 3 1 + x 2 4

y ' ' = - 2   - 4 x 5 + 9 x 4 + 8 x 3 + 6 x 2 + 12 x - 3 1 + x 2 4

E se igualarmos o numerador a 0 chegamos numa equação que não conseguimos resolver! ☹

Mas jogando na calculadora vemos que a derivada segunda se anula para

x ≈ - 1.1

x ≈ 0.2

Nesses dois valores, o nosso gráfico terá uma inflexão! Chutando alguns valores pra esse numerador também podemos afirmar que:

y ' ' < 0 para x < - 1.1 convexa

y ' ' > 0 para - 1.1 < x < 0.2 côncava

y ' ' < 0 para x > 0.2 convexa

Passo 4

Agora vamos olhar os limites de x → ± ∞

lim x → ∞ ⁡ 4 x + 3 x 2 1 + x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 2 4 x + 3 x 2 1 x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ 4 x + 3 1 x 2 + 1 = 0 + 3 0 + 1 = 3

lim x → - ∞ ⁡ 4 x + 3 x 2 1 + x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 4 x + 3 x 2 1 x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ 4 x + 3 1 x 2 + 1 = 0 + 3 0 + 1 = 3

Passo 5

E por últimos vamos olhar as raízes da nossa função. Isso acontece quando o denominador é nulo, ou seja,

4 x + 3 x 2 = 0 → x 4 + 3 x = 0

x = 0

Ou

x = - 4 3

E essas são as raízes da nossa função!

Passo 6

Juntando todas essas informações podemos fazer o seguinte esboço:

Prontinho!!!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados