j) ∫ x + sec 2 ⁡ 3 x d x .

Passo 1

Vamos resolver essa integralzinha juntos?!

Cara, a gente tem uma soma ali dentro, então vamos usar a regrinha da soma, olha só:

∫ x   d x + ∫ sec 2 ⁡ 3 x   d x

I                                     ( I I )

Essa primeira parte ( I ) é um pouco mais simples, olha só:

I   ∫ x   d x = x 1 + 1 1 + 1 + k = x 2 2 + k '

Passo 2

Em ( I I ) , vamos aplicar uma substiuiçãozinha simples, olha só:

I I   ∫ sec 2 ⁡ 3 x   d x

Vamos chamar de u = 3 x logo, d u d x = 3 , assim:

∫ sec 2 ⁡ u d u 3 = 1 3 ∫ sec 2 ⁡ u   d u

Temos que a integral de secante é a função tangente, daí:

1 3 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 1 3 tan ⁡ u + k ' '

Mas olha só, temos de lembrar que fizemos uma substituição, retornando pra variável x , termeos:

∫ sec 2 ⁡ 3 x   d x = 1 3 tan ⁡ 3 x + k ' '

Passo 3

A nossa resposta pra ∫ x + sec 2 ⁡ 3 x d x é a soma das soluções de ( I ) e ( I I ) , assim:

∫ x + sec 2 ⁡ 3 x d x = x 2 2 + k ' + 1 3 tan ⁡ 3 x + k ' '

Essas constantes k ' e k ' ' , podem virar uma só constante k , logo:

∫ x + sec 2 ⁡ 3 x d x = x 2 2 + 1 3 tan ⁡ 3 x + k

Resposta

A resposta da integral é x 2 2 + 1 3 tan ⁡ 3 x + k .

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