14. Calcule ∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ ( a - b ) . Logo,

∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x   d x = ∫ 1 2 cos ⁡ 5 x + 2 x + cos ⁡ ( 5 x - 2 x ) d x = 1 2 ∫ [ cos ⁡ 7 x + cos ⁡ 3 x ] d x

Passo 2

Lembrando que ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Logo,

1 2 ∫ [ cos ⁡ 7 x + cos ⁡ 3 x ] d x = 1 2 1 7 sin ⁡ 7 x + 1 3 sin ⁡ 3 x   + k = 1 14 sin ⁡ 7 x + 1 6 sin ⁡ 3 x + k  

Resposta

Portanto, o resultado da integral é

∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x   d x =   1 14 sin ⁡ 7 x + 1 6 sin ⁡ 3 x + k  

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