12. Calcule

b ) ∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Vamos usar a identidade trigonométrica sin ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sin ⁡ a + b   + sin ⁡ ( a - b )

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 4 x   d x =     ∫ 1 2 sin ⁡ 3 x + 4 x   + sin ⁡ ( 3 x - 4 x ) = 1 2 ∫ ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ - x ) d x

Passo 2

Temos que ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo   α e k constantes. Assim,

1 2 ∫ ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ - x ) d x = 1 2 - 1 7 cos ⁡ 7 x - 1 ( - 1 ) cos ⁡ - x + k

=   - 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 2 cos ⁡ - x + k

Como seno é uma função par, cos ⁡ - x = cos ⁡ x . Então,

- 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 2 cos ⁡ - x + k =   - 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 2 cos ⁡ x + k

Resposta

Logo, o resultado dessa integral é

∫ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 4 x   d x =   - 1 14 cos ⁡ 7 x + 1 2 cos ⁡ x + k  

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