15. Calcule

b )   ∫ s e n   2 x   s e n   5 x   d x  

Passo 1

Precisamos usar a identidade trigonométrica sin ⁡ a sin ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) . Logo,

∫ s e n   2 x   s e n   5 x   d x   =   ∫ 1 2 cos ⁡ 2 x - 5 x - cos ⁡ ( 2 x + 5 x ) d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ - 3 x - cos ⁡ 7 x d x

Passo 2

Sabemos que ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Então,

1 2 ∫ cos ⁡ - 3 x - cos ⁡ 7 x d x = 1 2 1 - 3 sin ⁡ - 3 x - 1 7 sin ⁡ 7 x + k

= - 1 6 sin ⁡ - 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + k

Como seno é uma função ímpar, sin ⁡ - 3 x = - sin ⁡ 3 x . Ficamos com:

= - 1 6 sin ⁡ - 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + k = 1 6 sin ⁡ 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + k

Resposta

Logo, a resposta de integral é

∫ s e n   2 x   s e n   5 x   d x   =   1 6 sin ⁡ 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + k

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