Calcule a derivada.

y = t^3 / ((t^2 + 1)^2)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' t = g ' t h t - g t h ' t h t 2

Onde:

g t = t 3

e

h t = ln ⁡ 3 t + 1

Assim temos então que:

t 3 t 2 + 1 2 ' = g ' t h t - g t h ' t h t 2 = t 3 ' t 2 + 1 2 - t 3 t 2 + 1 2 ' t 2 + 1 2 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio, além da regra da cadeia:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' t :

g ' t = t 3 ' = 3 t 3 - 1 = 3 t 2

Agora para h ' t :

h ' t = t 2 + 1 2 ' = 2 t 2 + 1 2 - 1 t 2 + 1 ' = 2 t 2 + 1 2 t 2 - 1 + 0 = 2 t 2 + 2 2 t = 4 t 3 + 4 t

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = t 3 t 2 + 1 2 ' = t 3 ' t 2 + 1 2 - t 3 t 2 + 1 2 ' t 2 + 1 2 2 = 3 t 2 t 2 + 1 2 - t 3 4 t 3 + 4 t t 2 + 1 4 = 3 t 2 t 2 + 1 2 - t 3 4 t t 2 + 1 t 2 + 1 4 = 3 t 2 t 2 + 1 - t 3 4 t t 2 + 1 3 = 3 t 4 + 3 t 2 - 4 t 4 t 2 + 1 3 = - t 4 + 3 t 2 t 2 + 1 3

Resposta

y ' = - t 4 + 3 t 2 t 2 + 1 3

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