Determine o valor da derivada

dr/dtheta | theta = 0, se r = 2/raiz(4 - theta)

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   f ( θ   +   h )   -   f ( θ ) h

Passo 2

Calculando a derivada:

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2 4   - θ -   h   -   2 4   - θ h

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2 4   - θ -   h   ∙ 4   - θ 4   - θ   -   2 4   - θ   ∙ 4   - θ -   h 4   - θ -   h h

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2   ( 4   - θ   -   4   - θ -   h ) h   ∙   4   - θ -   h   ∙   4   - θ

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b )   =   a 2   -   b 2

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2   ( 4   - θ   -   4   - θ -   h ) h   ∙   4   - θ -   h   ∙   4   - θ   ∙ ( 4   - θ   +   4   - θ -   h ) ( 4   - θ   +   4   - θ -   h )

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2   [ 4   - θ   -   ( 4   - θ -   h ) ] h   ∙   4   - θ -   h   ∙   4   - θ   ∙   ( 4   - θ   +   4   - θ -   h )    

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2   h h   ∙   4   - θ -   h   ∙   4   - θ   ∙   ( 4   - θ   +   4   - θ -   h )  

d d θ f ( θ )   =   lim h → 0 ⁡   2     4   - θ -   h   ∙   4   - θ   ∙   ( 4   - θ   +   4   - θ -   h )  

d d θ f ( θ )   = 2     4   - θ -   0   ∙   4   - θ   ∙   ( 4   - θ   +   4   - θ -   0 )

d d θ f ( θ )   = 2     4   - θ   ∙   4   - θ   ∙   ( 4   - θ   +   4   - θ )

d d θ f ( θ )   = 2     2 ( 4   - θ   ) 3 2

d d θ f ( θ )   = 1   ( 4   - θ   ) 3 2

Passo 3

Para encontrar a derivada no ponto   θ =   0 , basta substituir θ no resultado calculado anteriormente

d d θ f ( 0 )   = 1   ( 4   - 0   ) 3 2

d d θ f ( 0 )   = 1   8

Resposta

d d θ f ( 0 )   = 1   8

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