Determine o valor da derivada

(dw/dz) z = 4, se w = z + raiz(z)

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

d d z w ( z )   =   lim h → 0 ⁡   w ( z   +   h )   -   w ( z ) h

Passo 2

Calculando a derivada:

d d z w ( z )   =   lim h → 0 ⁡   z   +   h   +   z + h   -   ( z   +   z ) h

d d z w ( z )   =   lim h → 0 ⁡     h   +   z + h   -   z h

d d z w ( z )   =   lim h → 0    h h     +    lim h → 0 ⁡   z + h   -   z h

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b )   =   a 2   -   b 2

d d z w ( z )   =   lim h → 0    1     +    lim h → 0 ⁡   z + h   -   z h   ∙   z + h   +   z z + h   +   z

d d z w ( z )   =   lim h → 0    1     +    lim h → 0 ⁡   z + h   -   z h   ∙   ( z + h   +   z )  

d d z w ( z )   =   lim h → 0    1     +    lim h → 0 ⁡   h   h   ∙   ( z + h   +   z )

d d z w ( z )   =   lim h → 0    1     +    lim h → 0 ⁡   1 ( z + h   +   z )

d d z w ( z )   =   1   +   1 ( z + 0   +   z )

d d z w ( z )   =   1   +   1 2 z

Passo 3

Para encontrarmos a derivada da função no ponto z = 4 , basta substituir z no resultado encontrado anteriormente

d d z w ( 4 )   =   1   +   1 2 4

d d z w ( 4 )   =   1   +   1 2 ∙ 2

d d z w ( 4 )   =   1   +   1 4

d d z w ( 4 )   =   5 4

Resposta

d d z w ( 4 )   =   5 4

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