Enunciado

Seja y = f x definida e derivável num intervalo contendo 1 e suponha que f seja dada implicitamente pela equação y 3 + x 2 y = 130 . Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é a forma da equação da reta tangente em f em um ponto P 1 , f 1 :

y - f 1 = m x - 1

Vamos achar quem é f 1 :

  y 3 + 1 2 y = 130 → y 3 + y - 130 = 0 → y = 5

E o coeficiente angular m é igual a derivada no ponto que queremos:

m = f ' 1

Passo 2

Agora vamos achar m :

Para calcular essas derivadas vamos usar a regra do polinômio, da função constante, do produto e da cadeia:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Vamos então aplicar:

d d x y 3 + d d x x 2 y = d d x 1 30 → 3 y 3 - 1 y ' + x 2 ' y + y ' x 2 = 0 → 3 y 2 y ' + 2 x 2 - 1 y + y ' x 2 = 0 → 3 y 2 y ' + 2 x y + y ' x 2 = 0 → y ' 3 y 2 + x 2 = - 2 x y → y ' = - 2 x y 3 y 2 + x 2

Passo 3

Agora é só aplicar no valor que queremos:

m = f ' 1 = - 2 ⋅ 1 ⋅ 5 3 ⋅ 5 2 + 1 2 = - 10 76 = - 5 38

Por último é só substituir na equação da reta:

y - f 1 = m x - 1 → y - 5 = - 5 38 x - 1

Passo 4

Para achar a equação da reta normal é só achar o valor de m n :

m n = - 1 m = - 1 - 5 38 = 38 5

Substituindo na equação:

y - f 1 = m n x - 1 → y - 5 = 38 5 x - 1

Resposta

y - 5 = - 5 38 x - 1 e y - 5 = 38 5 x - 1

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