Calcule a derivada.

s = (2^(3t) - 2^(-3t)) / (2^(3t) + 2^(-3t))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g ' t = f ' t h t - f t h ' t h t 2

Onde:

f t = 2 3 t - 2 - 3 t

e

h t = 2 3 t + 2 - 3 t

Assim temos então que:

s ' = e t - e - t e t + e - t ' = f ' t h t - f t h ' t h t 2 = 2 3 t - 2 - 3 t ' 2 3 t + 2 - 3 t - 2 3 t - 2 - 3 t 2 3 t + 2 - 3 t ' 2 3 t + 2 - 3 t 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

a f x ' = a f x ⋅ ln ⁡ a ⋅ f x '

t n ' = n t n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' t :

f ' t = 2 3 t - 2 - 3 t ' = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t ' - 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t 1 - 1 - 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t 1 - 1 = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t 0 - 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t 0 = 2 3 t ln ⁡ 2 3 ⋅ 1 - 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 ⋅ 1 = 2 3 t 3 ln ⁡ 2 + 2 - 3 t 3 ln ⁡ 2

Agora para h ' t :

h ' t = 2 3 t + 2 - 3 t ' = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t ' + 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t 1 - 1 + 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t 1 - 1 = 2 3 t ln ⁡ 2 3 t 0 + 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 t 0 = 2 3 t ln ⁡ 2 3 ⋅ 1 + 2 - 3 t ln ⁡ 2 - 3 ⋅ 1 = 2 3 t 3 ln ⁡ 2 - 2 - 3 t 3 ln ⁡ 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

s ' = 2 3 t - 2 - 3 t ' 2 3 t + 2 - 3 t - 2 3 t - 2 - 3 t 2 3 t + 2 - 3 t ' 2 3 t + 2 - 3 t 2 = 2 3 t 3 ln ⁡ 2 + 2 - 3 t 3 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t - 2 3 t - 2 - 3 t 2 3 t 3 ln ⁡ 2 - 2 - 3 t 3 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t 2 = 2 6 t 3 ln ⁡ 2 + 2 0 3 ln ⁡ 2 + 2 0 3 ln ⁡ 2 + 2 - 6 t 3 ln ⁡ 2 - 2 6 t 3 ln ⁡ 2 + 2 0 3 ln ⁡ 2 + 2 0 3 ln ⁡ 2 - 2 - 6 t 3 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t 2 = 1 ⋅ 3 ln ⁡ 2 + 1 ⋅ 3 ln ⁡ 2 + 1 ⋅ 3 ln ⁡ 2 + 1 ⋅ 3 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t 2 = 12 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t 2

Resposta

s ' = 12 ln ⁡ 2 2 3 t + 2 - 3 t 2

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