Enunciado

63. Ache o ponto no gráfico de f x = e x para o qual a reta que passa por ele e é tangente ao gráfico passa também pela origem.

Passo 1

Vamos ver primeiro quem é a reta tangente a f ( x ) e depois verificamos se ela passa na origem também, basicamente.

Passo 2

Podemos calcular a reta tangente de uma função derivando-a.

f ' x = e x

Nesse caso, a função e a derivada são iguais.

Vamos chamar de ( c , e c ) o ponto em que a reta tangente passa pela origem e guardar esse ponto. A inclinação dessa reta que passa por ( 0,0 ) e ( c , e c ) vai ser α :

α = ∆ y ∆ x = e c - 0 c - 0 = e c c

Só que essa reta tangente também tem inclinação igual a f ' c = e c , igualando α e f ' c ...

e c c = e c

Logo c = 1 que é o nosso x e f c = e

O ponto em que a reta tangente ao gráfico passa é ( 1 , e ) :D

Resposta

Ponto = ( 1 , e )

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Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = - 1 , f ' 0 = 0 , f ' x0 se x0 e f ' x0 se x0 .
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, arranje os números 0 , f ' - 3 , f ' 0 , f ' 2 e f ' 4 em ordem crescente.
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 2 ; a = 1
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x 3 ; a = 0