Calcule a derivada.

y = ln([raiz(1-x) + raiz(1+x)] / [raiz(1-x) - raiz(1+x)]) - raiz(1-x^2) / x

Passo 1

Vamos usar a regra da soma primeiro:

y ' = ln ⁡ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x - 1 - x 2 x ' = ln ⁡ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' + - 1 - x 2 x ' = ln ⁡ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' - 1 - x 2 x '

Vamos resolver as duas derivadas separadamente.

Passo 2

Na primeira de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x

f u = ln ⁡ u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = ln ⁡ u ' ⋅ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x '

Passo 3

Aqui vamos usar a regra da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da divisão:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos aplicar:

y ' = ln ⁡ u ' ⋅ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' = u ' u ⋅ 1 - x + 1 + x ' 1 - x - 1 + x - 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' 1 - x - 1 + x 2

Passo 4

Vamos resolver 1 - x ' e 1 + x ' separadamente:

1 - x ' = 1 - x 1 2 ' = 1 2 1 - x 1 2 - 1 1 - x ' = 1 2 1 - x - 1 2 0 - x 1 - 1 = 1 2 1 - x - x 0 = 1 2 1 - x - 1 = - 1 2 1 - x

1 + x ' = 1 + x 1 2 ' = 1 2 1 + x 1 2 - 1 1 + x ' = 1 2 1 + x - 1 2 0 + x 1 - 1 = 1 2 1 + x x 0 = 1 2 1 + x 1 = 1 2 1 + x

Passo 5

Substituindo de volta vamos ter:

y ' = ln ⁡ u ' ⋅ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' = u ' u ⋅ 1 - x + 1 + x ' 1 - x - 1 + x - 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' 1 - x - 1 + x 2 = u 1 - 1 u ⋅ - 1 2 1 - x + 1 2 1 + x 1 - x - 1 + x - 1 - x + 1 + x - 1 2 1 - x - 1 2 1 + x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u u 0 ⋅ - 1 2 1 - x + 1 2 1 + x 1 - x - 1 + x - 1 - x + 1 + x - 1 2 1 - x - 1 2 1 + x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u ⋅ 1 ⋅ - 1 - x 2 1 - x + 1 + x 2 1 - x + 1 - x 2 1 + x - 1 + x 2 1 + x - - 1 - x 2 1 - x - 1 - x 2 1 + x - 1 + x 2 1 - x - 1 + x 2 1 + x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u ⋅ 1 + x 2 1 - x + 1 - x 2 1 + x + 1 - x 2 1 + x + 1 + x 2 1 - x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u ⋅ 1 + x + 1 - x + 1 - x + 1 + x 2 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u ⋅ 4 2 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 = 1 u ⋅ 2 1 - x 1 + x ⋅ 1 1 - x - 1 + x 2 = 2 u 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2

Passo 6

Agora com a segunda derivada 1 - x 2 x ' vamos usar a regra da divisão também:

1 - x 2 x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 1 - x 2 ' x - 1 - x 2 x ' x 2 = 1 2 1 - x 2 1 2 - 1 1 - x 2 ' x - 1 - x 2 x 1 - 1 x 2 = 1 2 1 - x 2 - 1 2 0 - 2 x 2 - 1 x - 1 - x 2 x 0 x 2 = 1 2 1 - x 2 - 2 x x - 1 - x 2 1 x 2 = - x 2 1 - x 2 - 1 - x 2 x 2 = - x 2 - 1 + x 2 1 - x 2 x 2 = - 1 1 - x 2 x 2 = - 1 1 - x 2 ⋅ 1 x 2 = - 1 x 2 1 - x 2

Passo 7

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = ln ⁡ 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x ' - 1 - x 2 x ' = 2 u 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 - - 1 x 2 1 - x 2 = 2 u 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 + 1 x 2 1 - x 2

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 2 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 + 1 x 2 1 - x 2

Resposta

y ' = 2 1 - x + 1 + x 1 - x - 1 + x 1 - x 1 + x 1 - x - 1 + x 2 + 1 x 2 1 - x 2

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