Enunciado

Coeficientes angulares no gráfico da função cotangente: Esboce em apenas um gráfico y = c o t g   ( x ) e sua derivada em 0 < x < π . O gráfico da função cotangente parece ter um coeficiente angular mínimo? E máximo? Em algum momento o coeficiente angular é positivo? Justifique suas respostas.

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Precisamos obter os gráficos da função cotangente e da sua derivada no intervalo de x variando entre 0 < x < π . A partir destes gráficos, precisamos fazer múltiplas interpretações. Para a análise da nossa questão fluir bem, precisamos entender muito bem um ponto: como obtemos numericamente o coeficiente angular de uma reta?

O valor do coeficiente angular de uma função nada mais é do que a imagem da derivada dessa função. Isto é, se temos uma função y = f ( x ) , os valores y ' = f ' ( x ) são os coeficientes angulares da função f ( x ) no ponto x .

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a derivada da função y = c o t g   ( x ) . Sendo assim, temos:

y ' = c o t g   x ' = - cos sec 2 ⁡ ( x )

Passo 3

Vamos agora obter a curva das funções y = c o t g ( x ) e y ' = - cos sec 2 ⁡ ( x ) no intervalo 0 < x < π . Sendo assim, temos:

Passo 4

Agora que obtemos os gráficos, vamos extrair todas as informações possíveis. Para isto, estudaremos a imagem da função - cos sec 2 ⁡ x . Como podemos observar pelo gráfico, a imagem é o conjunto ( - ∞ , - 1 ] . Logo, possui um ponto de máximo e não possui mínimo. Sendo assim, temos:

  • A função cotangente não possui um coeficiente angular mínimo, visto que tende a menos infinito;
  • Ela possui coeficiente angular máximo igual a -1;
  • Em nenhum momento o valor de - cos sec 2 ⁡ x é positivo. Portanto, a função cotangente não possui coeficiente angular positivo (ela é estritamente decrescente).

Resposta

A função cotangente possui coeficiente angular máximo igual a -1 e não possui valor mínimo. Além disto, o coeficiente nunca é positivo.

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