Enunciado

Explorando ( s e n   k x ) / x : Esboce em um único gráfico y = ( s e n   x ) / x , y = ( s e n   2 x ) / x e y = ( s e n   4 x ) / x no intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 . Onde cada gráfico parece cruzar o eixo y ? Os gráficos realmente cortam os eixos? O que você espera dos gráficos y = ( s e n   5 x ) / x e y = s e n   - 3 x / x   quando x → 0 ? Por quê? E do gráfico de y = ( s e n   k x ) / x para outros valores de k ? Justifique suas respostas.

Passo 1

Antes de começarmos a discutir quaisquer conceitos, vamos elencar todas as perguntas que devemos responder, pois, da forma que está escrita a questão, podemos nos perder no raciocínio. Portanto, temos que responder os seguintes tópicos:

  • Esboçar os gráficos das funções y = ( s e n   x ) / x , y = ( s e n   2 x ) / x e y = ( s e n   4 x ) / x no intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 através de recursos tecnológicos;
  • Quais valores estes gráficos aparentam cruzar o eixo y ?
  • Os gráficos realmente cruzam o eixo y ?
  • O que acontece com as funções y = ( s e n   5 x ) / x e y = s e n   - 3 x / x   quando x → 0 ;
  • E o que acontece com y = ( s e n   k x ) / x quando x → 0 .

São tantas perguntas que realmente se torna importante elenca-las. Os primeiros dois pontos fluem naturalmente a partir da análise do nosso gráfico. O terceiro ponto necessita de conhecimento sobre domínio de funções. Já o quarto e o quinto consiste na análise de limites de funções, sem ser necessário obter o gráfico destas funções.

Portanto, vamos direto as contas!

Passo 2

Vamos começar por esboçar os gráficos das funções y = ( s e n   x ) / x , y = ( s e n   2 x ) / x e y = ( s e n   4 x ) / x no intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 . Sendo assim, temos:

Passo 3

Os gráficos das funções aparentam cruzar o eixo y nos seguintes valores:

  • y = ( s e n   x ) / x cruza em y = 1 ;
  • y = ( s e n   2 x ) / x cruza em y = 2
  • y = ( s e n   4 x ) / x cruza em y = 4

Passo 4

Os gráficos das funções analisadas anteriormente realmente não cruzam o eixo y . Isto ocorre pois o ponto x = 0 não pertence ao domínio das funções. Como elas são funções racionais, o denominador dela não pode ser igual a 0 . É por isto que o domínio das três funções é:

D f = x ∈ R x ≠ 0 }

Passo 5

Os gráficos das funções y = ( s e n   5 x ) / x e y = s e n   - 3 x / x   tendem aos valores y = 5 e y = - 3   quando x → 0 , respectivamente. Isto decorre do limite que discutido no próximo passo.

Passo 6

Para melhor explicar o passo anterior e o que acontece com funções do tipo y = ( s e n   k x ) / x quando x → 0 , vamos resolver o limite dessas funções. Assim temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( k x ) x = lim x → 0 ⁡ s e n   ( k x ) x ⋅ k k = k ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n   ( k x ) k x

Se fizermos uma mudança de variável, chamar u = k x , quando x → 0 , u → 0 . Desta forma, temos:

k ⋅ lim u → 0 ⁡ s e n   ( u ) u

Desta forma, chegamos a um dos limites fundamentais do seno. Como:

lim u → 0 ⁡ s e n   ( u ) u = 1

Temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( k x ) x = k

Desta forma, fica claro o que ocorre quando x → 0 para as funções descritas nesta questão.

Resposta

As respostas de cada um dos pontos abordados foram:

  • Gráfico:
  • y = ( s e n   x ) / x cruza em y = 1 ; y = ( s e n   2 x ) / x cruza em y = 2 ;   y = ( s e n   4 x ) / x cruza em y = 4 ;
  • Todos os gráficos não cruzam o eixo y , pois o ponto x = 0 não pertence ao domínio
  • y = ( s e n   5 x ) / x e y = s e n   - 3 x / x   tendem aos valores y = 5 e y = - 3   quando x → 0 , respectivamente;
  • Quando x → 0 , as funções y = ( s e n   k x ) / x tendem a y = k .
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