1. Calcule a derivada da função dada

c )   h x =     ∫ 0 x s e n   x ² t ² d t

Passo 1

Aqui temos uma complicação porque sabemos fazer

d d x     ∫ 0 a s e n   x ² t ² d t

Ou

d d x   ∫ 0 x s e n   a 2 t ² d t

Mas os dois juntos não é tão trivial. Para resolver isso vamos usar a regra da Cadeia. Digamos que ϕ   seja função de u e v

h x = ϕ u , v =   ∫ 0 u s e n   v 2 t 2 d t

Se quisermos derivar h teremos que fazer

h ' x = ϕ ' u , v = d ϕ d u d u d x + d ϕ d v d v d x  

Passo 2

Assim podemos calcular, visto que no nosso caso

u = v = x

Dessa forma nossa função h fica

d d x ∫ 0 x s e n   x ² t ² d t = sin ⁡ x 4 + 2 x   ∫ 0 x t 2 cos ⁡ x 2 t 2 d t

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

d d x ∫ 0 x s e n   x ² t ² d t = sin ⁡ x 4 + 2 x   ∫ 0 x t 2 cos ⁡ x 2 t 2 d t

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