1. Calcule a derivada da função dada

d )   h x =     ∫ x 2 s e n   x 1 1 + x 4 t 4 d t

Passo 1

Aqui temos o mesmo problema do exercício anterior, para podemos facilitar podemos fazer uma manipulação algébrica

∫ x 2 s e n   x 1 1 + x 4 t 4 d t =   ∫ x 2 a 1 1 + x 4 t 4 d t + ∫ a s e n   x 1 1 + x 4 t 4 d t

=   - ∫ a x 2 1 1 + x 4 t 4 d t + ∫ a s e n   x 1 1 + x 4 t 4 d t

Onde a é um número natural qualquer dentro do intervalo x 2 ,   s e n   x

Passo 2

Agora sim podemos usar o truque de desenvolvemos no exercício anterior. Vamos usar a regra da Cadeia. Digamos que ϕ   seja função de u e v

h x = ϕ u , v =   ∫ a u 2 1 1 + v 4 t 4 d t

Se quisermos derivar h teremos que fazer

h ' x = ϕ ' u , v = d ϕ d u d u d x + d ϕ d v d v d x  

E essa mesma ideia também serve para a outra integral

Passo 3

Logo isso faz com que nossa equação resulte em

h x = - ∫ a x 2 1 1 + x 4 t 4 d t + ∫ a s e n   x 1 1 + x 4 t 4 d t

h ' x = - 1 1 + x 4 x 2 4 ⋅ x 2 ' - 4 x 3 ∫ a x 2 - t 4 1 + x 4 t 4 2 d t + 1 1 + x 4 s e n   x 4   s e n   x ' + 4 x 3 ∫ a s e n   x - t 4 1 + x 4 t 4 2 d t  

Passo 4

Podemos agora ajeitar essa derivação e unir as integrais numa única conta, afinal criamos essa separação apenas para ser mais fácil calcular.

h ' x = - 1 1 + x 12 ⋅ 2 x + 1 1 + x 4 s e n   x 4 ( cos ⁡ x ) + 4 x 3 ∫ x 2 s e n   x - t 4 1 + x 4 t 4 2 d t

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

h ' x = - 1 1 + x 12 ⋅ 2 x + 1 1 + x 4 s e n   x 4 ( cos ⁡ x ) + 4 x 3 ∫ x 2 s e n   x - t 4 1 + x 4 t 4 2 d t

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