Calcule a derivada indicada.

d/dx(raiz((cos(x)-1)/(sen x)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

cos ⁡ x - 1 s e n   x     = h x = h x 1 / 2 ,

onde h é dado por

h x = cos ⁡ x - 1 s e n   x

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que

d d x cos ⁡ x - 1 s e n   x     = d d x h x 1 2 = 1 2 h x - 1 / 2 ⋅ h ' ( x )

Assim,

d d x cos ⁡ x - 1 s e n   x     = 1 h ( x ) ⋅ h ' x 2 = s e n   x cos ⁡ x - 1 ⋅ h ' x 2

Passo 3

Falta apenas calcular h ' ( x ) . Usando a regra do quociente:

h ' x = cos ⁡ x - 1 '   s e n   x - cos ⁡ x - 1   s e n   x ' s e n 2 x = - s e n 2 x - cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x s e n 2 x

Assim,

h ' x = cos ⁡ x - ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ x ) s e n 2 x = cos ⁡ x - 1 s e n 2 x

Portanto,

d d x cos ⁡ x - 1 s e n   x     = cos ⁡ x - 1 2   s e n 2 x ⋅ s e n   x cos ⁡ x - 1

Resposta

d d x cos ⁡ x - 1 s e n   x     = cos ⁡ x - 1 2   s e n 2 x ⋅ s e n   x cos ⁡ x - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados