Calcule a derivada indicada.

d/dx(raiz(x^2 - 1) / x)

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada dada. Neste caso, aplicar diretamente a regra do quociente, porém há uma alternativa mais simples. Note que podemos escrever

x 2 - 1 x = x 2 - 1 x 2 = 1 - 1 x 2 = 1 - x - 2 = 1 - x - 2 1 / 2

Note que desta forma nós fugimos da regra do quociente (que é bem desagradável de usar).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que

d d x x 2 - 1 x = d d x 1 - x - 2 1 2 = 1 2 1 - x - 2 - 1 / 2 ⋅ 1 - x - 2 '  

Assim,

d d x x 2 - 1 x = 1 2 x 2 - 1 x 2 - 1 2 1 - x - 2 ' = 1 2 x 2 x 2 - 1 1 - x - 2 ' = x 2 x 2 - 1 ⋅ 1 - x - 2 '

Passo 3

Só falta calcular 1 - x - 2 ' . Note que podemos usar a regra do tombo:

1 - x - 2 ' = - x - 2 ' = - ⋅ - 2 ⋅ x - 2 - 1 = 2 x - 3

Assim,

d d x x 2 - 1 x = x ⋅ 2 x - 3 2 x 2 - 1 = 1 x 2 x 2 - 1

Resposta

d d x x 2 - 1 x = 1 x 2 x 2 - 1

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