Derive.

y = ln(sec x + tg x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = sec ⁡ x + tg ⁡ x

f u = ln ⁡ u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = ln ⁡ u ' ⋅ sec ⁡ x + tg ⁡ x '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural e do polinômio:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = ln ⁡ u ' = 1 u ⋅ u ' = 1 u ⋅ u 1 - 1 = 1 u ⋅ u 0 = 1 u ⋅ 1 = 1 u

Agora para g ' x :

g ' x = sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = sec ⁡ x + tg ⁡ x ' + tg ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = ln ⁡ u ' ⋅ sec ⁡ x + tg ⁡ x ' = 1 u ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 1 u ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x = 1 sec ⁡ x + tg ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x

Resposta

y ' = sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x

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