Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

41. f x = 7 + x . s e c ⁡ ( x )

Passo 1

Então galera, antes de tudo vamos escrever essa função de um jeito mais atrativo:

f x = ( 7 + x . sec ⁡ x ) 1 2

Para resolvermos essa derivada, teremos primeiramente que usar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

( f x ) ' = d f d u × d u d x

f u =   u 1 2 ⇒   d f d u = 1 2 . u - 1 2

Passo 2

Uma das partes da regra da cadeia nós já achamos, certo? Agora só falta acharmos d u d x . Como u = 7 + x . s e c ⁡ ( x ) , notamos que para resolvermos isso aí teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

u x = g x . h ( x )

∴ u x ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Vale lembrar também que aquele número 7 somando não alterará em nada na derivada, uma vez que a derivada de uma constante é zero.

g x = x

h x = s e c ⁡ ( x )

Passo 3

Encontrando g ' primeiro, teremos:

g x ' = 1

Agora só precisamos encontrar h ' , mas como secante tem uma derivada de tabela, temos que:

h x ' = sec ⁡ x . t g ( x )

Passo 4

Agora que temos g ' e h ' , jogando na regra do produto, teremos:

u x ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

∴ u x ' = sec ⁡ x + x . sec ⁡ x . t g ( x )

Lembrando que u x ' = d u d x , tranquilão?

Agora que descobrimos d u d x , voltando lá na regra da cadeia que e substituindo o valor encontrado, teremos:

( f x ) ' = d f d u × d u d x

f x ' = 1 2 . u - 1 2 . ( sec ⁡ x + x . sec ⁡ x . t g x )

∴ f x ' = 1 2 . ( 7 + x . sec ⁡ x ) - 1 2 . ( sec ⁡ x + x . sec ⁡ x . t g x )

Resposta

f x ' = 1 2 . ( 7 + x . sec ⁡ x ) - 1 2 . ( sec ⁡ x + x . sec ⁡ x . t g x )

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