Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

44. g t = 1 + s e n   3 t 3 - 2 t - 1

Passo 1

Antes de iniciarmos o processo de derivação, vamos reescrever essa função de outra maneira, ok? Ficará assim:

g t = ( 3 - 2 t ) ( 1 + s e n   3 t )

Então galera, para conseguimos resolver essa derivada devemos lembrar de uma regrinha bastante importante quando se trata da derivada de uma divisão, beleza? A regra é a do quociente, que nos diz o seguinte:

g t =   f t h t

∴ g t ' = f t ' . h t - f t . ( h t ) ' [ h t ] ²

f t = 3 - 2 t

h t = 1 + s e n   3 t

Passo 2

Descobrindo f ' , teremos:

f t ' = 0 - 2 . t 1 - 1

∴ f t ' = - 2

Passo 3

Para descobrirmos h ' só precisamos descobrir a derivada de s e n   3 t , uma vez que aquele número 1 somando não altera em nada o valor da derivada, certo? Para derivarmos a função seno devemos utilizar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

h t ' = d h d u × d u d t

u = 3 t   ⇒   d u d t = 3

h u = s e n   u ⇒ d h d u = cos ⁡ u

Substituindo na regra da cadeira, teremos:

h t ' = cos ⁡ u . 3

∴ h t ' = 3 . c o s ⁡ ( 3 t )

Passo 4

Agora que encontramos f ' e h ' , basta substituirmos na regra do quociente que comentamos lá em cima, beleza? Fazendo isso, teremos:

g t ' = f t ' . h t - f t . ( h t ) ' [ h t ] ²

g t ' = - 2 . ( 1 + s e n   3 t ) - 3 - 2 t . 3 . cos ⁡ 3 t ( 1 + s e n   3 t ) ²

∴ g t ' = - 2 ( 1 + s e n   3 t ) - 3 . 3 - 2 t . cos ⁡ 3 t ( 1 + s e n   3 t ) ²

Resposta

g t ' = - 2 ( 1 + s e n   3 t ) - 3 . 3 - 2 t . cos ⁡ 3 t ( 1 + s e n   3 t ) ²

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