Enunciado

Calcule ∫ - 2 2 x + 3 4 - x 2 d x descrevendo-a como uma soma de duas integrais e interpretando uma dessas integrais em termos de uma área.

Passo 1

Primeiramente escreveremos essa integral como a soma de duas integrais:

I = ∫ - 2 2 x + 3 4 - x 2 d x = I 1 + I 2 = ∫ - 2 2 x 4 - x 2 d x + ∫ - 2 2 3 4 - x 2 d x

Passo 2

Nós temos que I 1 é 0 por conta do Teorema 7(b), que diz que se f é ímpar, então sua derivada é zero. Interpretamos I 2 como 3 vezes a área de um semicírculo de raio 2 , assim:

I = 0 + 3 1 2 π   2 2 = 6 π

Resposta

I = 6 π .

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Ache a taxa de variação da medida da área do Exercício 48 em relação a p quando p = 3 8 .
Ache a área da seção limitada pela curva y = tan 2 ⁡ x , pelo eixo x e pela reta x = 1 4 π .
Ache a área da região limitada pelas três curvas y = x 2 ,y = 8 - x 2e4 x - y + 12 = 0 .
Ache a área da região limitada pela reta x = 4 e pela curva x 3 - x 2 + 2 x y - y 2 = 0 . (Sugestão: resolva a equação cúbica em y em termos de x e expresse y como duas funções de x.)
Ache a área da seção limitada pelas curvas y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x entre dois pontos de interseção consecutivos.