Calcule y'' nos Exercícios 71-78.

72. y = (1 - raiz(x))^(-1)

Passo 1

Para acharmos y ' teremos que utilizar a regra da cadeia, beleza? Aplicando a regra, teremos:

y ' =   - 1 . 1 - x - 2 . 1 - x '

y ' = - 1 - x - 2 . ( - 1 2 x - 1 2 )

∴ y ' = 1 2 . 1 - x 2 . x

Passo 2

Agora que encontramos y ' , basta derivarmos novamente para descobrirmos y ' ' , certo? Reescrevendo a função y ' , teremos:

y ' = 1 2 . 1 - x - 2 . x - 1 2

Para derivarmos essa função, teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

y ' ' = 1 2 ( u ' . v + u . v ' )

u = 1 - x - 2

v = x - 1 2

Passo 3

Descobrindo u ' , teremos:

u ' = - 2 . 1 - x - 3 . ( 1 - x ) '

∴ u ' = - 2 . 1 - x - 3 . - 1 2 x - 1 2

Descobrindo v ' , teremos:

v ' = - 1 2 . x - 1 2 - 1

∴ v ' = - 1 2 . x - 3 2

Passo 4

Agora que descobrimos u ' e v ' , basta substituirmos na regra do produto para descobrirmos y ' ' , se liga:

y ' ' = 1 2 u ' . v + u . v '

y ' ' = 1 2 - 2 . 1 - x - 3 . - 1 2 x - 1 2 . x - 1 2 + 1 - x - 2 . - 1 2 . x - 3 2

Simplificando a expressão, teremos:

y ' ' = 1 1 - x 3 . 2 x - 1 4 . 1 - x 2 . x ³

Resposta

y ' ' = 1 1 - x 3 . 2 x - 1 4 . 1 - x 2 . x ³

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