Calcule y'' nos Exercícios 71-78.

71. y = (1 + 1/x)^3

Passo 1

Reescrevendo a função y , temos:

y = ( 1 + x - 1 ) ³

Para descobrirmos y ' , teremos que aplicar a regra da cadeia, beleza? Aplicando a regra, teremos:

y ' = 3 . 1 + x - 1 3 - 1 . ( 1 + x - 1 ) '

y ' = 3 . 1 + x - 1 2 . - 1 x 2

∴ y ' =   - 3 . 1 + x - 1 2 x ²

Passo 2

Agora que já encontramos y ' , devemos derivar essa nossa função novamente para descobrirmos y ' ' , beleza? A diferença agora é que teremos que utilizar a regra do produto para descobrirmos essa derivada. A regra do produto nos diz que:

y ' ' = u ' . v + u . v '

u =   - 3 x ²

v = 1 + x - 1 2

Agora só precisamos descobrir u ' e v ' para substituir na regra, ok? Bora lá!

Passo 3

u = - 3 . x - 2

∴ u ' = 6 . x - 3

Agora para descobrirmos v ' , vamos utilizar o mesmo raciocínio utilizado no passo 1, ok?

v = 1 + x - 1 2  

v ' = 2 . 1 + x - 1 . 1 + x - 1 '

v ' = 2 . 1 + x - 1 . - 1 x 2

∴ v ' = - 2 . 1 + x - 1 x ²

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na regra do produto, teremos:

y ' ' = u ' . v + u . v '

y ' ' = 6 . x - 3 . 1 + x - 1 2 + 3 . x - 2 . 2 . 1 + x - 1 x ²

∴ y ' ' = 6 . 1 + x - 1 2 x ³ + 6 . 1 + x - 1 x 4

Resposta

y ' ' = 6 . 1 + x - 1 2 x ³ + 6 . 1 + x - 1 x 4

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