Calcule y'' nos Exercícios 71-78.

78. y = sen(x^2 \* e^x)

Passo 1

Para derivarmos essa função aí, de ínicio precisaremos da regra da cadeia e, para derivar a função mais interna necessitaremos da regra do produto, beleza? Derivando, teremos:

y ' = cos ⁡ x 2 . e x . x 2 . e x '

A regra do produto nos diz que:

y ' = u ' . v + u . v '

u = x 2

v =   e x

Passo 2

As derivadas de u e v são:

u ' = 2 x

v ' = e x

Aplicando na regra do produto, teremos:

y ' = cos ⁡ x 2 . e x . ( 2 x . e x + x 2 . e x )

Passo 3

Agora que descobrimos y ' , precisaremos ter muuuuuito cuidado para descobrir y ' ' . Ao todo, teremos que utilizar umas 3 regras do produto, se liga:

y ' ' = u ' . v + u . v '

u = cos ⁡ x 2 . e x  

v = ( 2 x . e x + x 2 . e x )

Passo 4

Descobrindo as derivadas, teremos:

u ' =   - s e n x 2 . e x . ( x 2 . e x ) '

u ' = - s e n x 2 . e x . ( 2 x . e x + x 2 . e x )

Note que tanto para u ' e v ' estamos aplicando a regra do produto em todas as multiplicações, beleza?

v ' = 2 . e x + 2 x . e x + 2 x . e x + x 2 . e x

v ' = 2 . e x + 4 x . e x + x 2 . e x

Passo 5

Aplicando as derivadas que achamos na regra do produto que comentamos no passo 3, teremos:

y ' ' = - s e n x 2 . e x 2 x . e x + x 2 . e x 2 x . e x + x 2 . e x + cos ⁡ x 2 . e x ( 2 . e x + 4 x . e x + x 2 . e x )

∴ y ' ' = - s e n x 2 . e x . 2 x . e x + x 2 . e x 2 + cos ⁡ x 2 . e x ( 2 . e x + 4 x . e x + x 2 . e x )

Resposta

y ' ' = - s e n x 2 . e x . 2 x . e x + x 2 . e x 2 + cos ⁡ x 2 . e x ( 2 . e x + 4 x . e x + x 2 . e x )

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