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Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 2 - sen ⁡ θ ,   θ = π / 3

Passo 1

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = 2 - sen ⁡ θ

Em uma soma, basta derivar cada termo

d r d θ = 0 - cos ⁡ θ = - cos ⁡ θ

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = ( - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ ( - cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também o r = 2 - sen ⁡ θ

d y d x = ( - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ + ( 2 - sen ⁡ θ ) cos ⁡ θ ( - cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ - ( 2 - sen ⁡ θ ) sen ⁡ θ

Fazendo as distributivas, temos

d y d x = - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Somando o que for possível

d y d x = - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ

Podemos usar agora as relações sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ no numerador e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ no denominador, basta multiplicar a relação por - 1 que chegamos em - cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

d y d x = - sen ⁡ 2 θ + 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ - 2 sen ⁡ θ

Por fim, vamos substituir θ = π / 3

d y d x = - sen ⁡ 2 π 3 + 2 cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 2 π 3 - 2 sen ⁡ π 3 = - 3 2 + 2 ⋅ 1 2 - - 1 2 - 2 ⋅ 3 2

Podemos simplificar agora as frações, mas é melhor deixarmos tudo em fração, que se os denominadores das frações de cima e de baixo forem iguais, podemos simplificar

d y d x = - 3 + 2 2 1 - 2 3 2

Multiplicando por 1 não alteramos a equação, então vamos multiplicar por 2 2 e calcelar as frações

d y d x = - 3 + 2 1 - 2 3

Resposta

d y d x = 2 - 3 1 - 2 3

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