Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas no ponto.

( 1 ,   π )

( 2 ,   - 2 π 3 )

( - 2 ,   3 π 4 )

Passo 1

Agora que já sabemos como representar um ponto através de coordenadas polares podemos aprender a transferir para o plano cartesiano. Quando escrevemos um ponto usando seu raio e ângulo podemos traçar um triângulo que nos ajudará a transpassar o ponto para as coordenadas cartesianas.

O primeiro exercício pede que passemos a coordenada ( 1 ,   π ) para o cartesiano, como sabemos que o ângulo de 180 º faz com que o ponto esteja sobre o eixo x , não precisamos de calculo e conseguimos ver claramente que o raio 1 faz com que as coordenadas cartesianas sejam ( - 1,0 ) .

Passo 2

A tetra (b) nos da   ( 2 ,   - 2 π 3 ) e agora podemos entender o que significa aquele triângulo que vai ajudar a gente, certo?

Na figura, vemos que em relação ao eixo x , o ponto A está a   60 º   e então para encontrar suas coordenadas é só usar trigonometria.

s e n 60 º = y 2 cos(60º) =   x 2

Assim temos que x   e   y seriam 1   e   3 , respectivamente. Porém como estão no terceiro quadrante tanto   x quanto y ficam negativos. Mas assim, vocês perceberam que dá muito trabalho ficar pensando em positivo e negativo sempre, então podemos direto lembrar da relação que:

  x   = r   ∙   c o s ( θ )   y   = r   ∙   s e n ( θ )

Para podermos generalizar essa equação sempre temos que ter em mente que θ   é o ângulo original e positivo, e então não funcionaria para nosso ângulo de 60 º e sim para o ângulo de   240 º   que é o correspondente positivo de - 120 º .

Passo 3

Na letra (c), ( - 2 ,   3 π 4 ) temos o raio   2 negativo e ângulo de   135 º . Usando a regra anterior fazemos:

x   =   ( - 2 )   ∙   c o s ( 135 º )   y   =   ( - 2 )   ∙   s e n ( 135 º )

Sabemos que o ângulo está no 2º quadrante e então c o s ( 135 º )   =   - c o s ( 45 º ) e também que s e n ( 135 º )   =   s e n ( 45 º ) , e então:

x   =   ( - 2 )   ∙ ( - 2 2 )   y   =   ( - 2 )   ∙   2 2

E as coordenadas seriam: ( 2 ,   - 2 )

Resposta

  1. ( - 1,0 )
  2. ( - 1 ,   - 3 )
  3. ( 2 , - 2 )
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