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Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma verramenta gráfica, trace a curva.

x = 10 - t 2

y = t 3 - 12 t

Passo 1

Bom, ele nos deu a expressão de x e y em função de t , como sabemos a reta tangente é horizontal é obtida quando

d y d t = 0

E a reta tangente vertical é obtida quando

d x d t = 0

Então, vamos achar essas derivadas, igualar a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva ( x e y ) para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

y = t 3 - 12 t

d y d t = 3 t 2 - 12 = 0

3 t 2 = 12

t 2 = 12 3 = 4

t = ± 2

Passo 3

Substituindo t = - 2 na parametrização da curva, temos:

x = 10 - t 2

x - 2 = 10 - - 2 2 = 10 - ( 4 ) =   6

y = t 3 - 12 t

y - 2 = - 2 3 - 12 . - 2 = - 8 + 24 =   + 16

Logo descobrimos o ponto:

P 1 = ( 6,16 )

Substituindo t = + 2 na parametrização da curva, temos:

x = 10 - t 2

x + 2 = 10 - + 2 2 = 10 - 4 =   6

y = t 3 - 12 t

y + 2 = + 2 3 - 12 . + 2 = 8 - 24 =   - 16

Logo descobrimos o ponto:

P 2 = ( 6 , - 16 )

Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( 6,16 )

P 2 = ( 6 , - 16 )

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

x = 10 - t 2

d x d t = - 2 t = 0

Logo, só existe uma opção de t :

t = 0

Passo 5

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x = 10 - t 2

x 0 = 10 - 0 2 = 10

y = t 3 - 12 t

y 0 = 0 3 - 12 . 0 = 0

Portanto, a reta tangente é vertical no ponto

P 3 = ( 10,0 )

Passo 6

Bom, vamos plotar essa curva no Winplot também só pra você ver como é a cara doidinha dela e tentar imaginar as retas tangentes nos pontos que a gente achou aí na questão:

Resposta

A reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( 6,16 )

P 2 = ( 6 , - 16 )

E vertical no ponto

P 3 = ( 10,0 )

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