Enunciado

Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = 10 - t 2

y = t 3 - 12 t

Passo 1

Falaee, beleza?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações de uma curva parametrizada:

x = 10 - t 2

y = t 3 - 12 t

Lembrando que a parametrização de uma curva é um processo usado para representar pontos na curva em termos de um ou mais parâmetros.

Queremos encontrar os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Mas quando uma reta é tangente horizontal e vertical??

Bom... sabemos a reta tangente é horizontal é obtida quando:

d y d t = 0

E a reta tangente vertical é obtida quando:

d x d t = 0

Então, vamos achar essas derivadas, igualar a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva ( x e y ) para encontrar os pontos correspondentes!!

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

Vamos lembrar da equação de y :

y = t 3 - 12 t

Derivando y em função de t , temos:

d y d t = 3 t 2 - 12

Igualando a derivada a zero:

3 t 2 - 12 = 0

Agora vamos isolar o t :

3 t 2 = 12

t 2 = 12 3

t 2 = 4

t = ± 2

Passo 3

Substituindo t = - 2 na parametrização da curva, temos que em x - 2 :

x - 2 = 10 - - 2 2

x - 2 = 10 - 4

x - 2 =   6

E, em y - 2 :

y - 2 = - 2 3 - 12 ∙ - 2

y - 2 = - 8 + 24

y - 2 =   + 16

Logo, descobrimos o ponto:

P 1 = ( 6 ,   16 )

Substituindo t = + 2 na parametrização da curva, temos que em x + 2 :

x + 2 = 10 - + 2 2

x + 2 = 10 - 4

x + 2 =   6

E, em y + 2 :

y + 2 = + 2 3 - 12 ∙ + 2

y + 2 = 8 - 24

y + 2 =   - 16

Logo descobrimos o ponto:

P 2 = ( 6 , - 16 )

Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( 6,16 )

P 2 = ( 6 , - 16 )

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

x = 10 - t 2

Derivando x em função de t , temos:

d x d t = - 2 t = 0

Igualando a zero:

- 2 t = 0

Logo, só existe uma opção de t :

t = 0

Passo 5

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x 0 = 10 - 0 2

x 0 = 10

E, para y 0 :

y 0 = 0 3 - 12 ∙ 0

y 0 = 0

Portanto, a reta tangente é vertical no ponto

P 3 = ( 10,0 )

Passo 6

Bom, plotando a curva e marcando os pontos encontrados, temos:

Perceba que esses pontos correspondem a retas tangentes na horizontal e vertical, veja:

Resposta

A reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( 6,16 )

P 2 = ( 6 , - 16 )

E vertical no ponto

P 3 = ( 10,0 )

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