Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:

x = t sen ⁡ t

y = t cos ⁡ t

t = π

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y , usando a regra do produto:

y = t cos ⁡ t

d y d t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t

Agora a derivada de x , também usando a regra do produto:

x = t sen ⁡ t

d x d t = sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Em t = π :

d y d x = cos ⁡ π - π sen ⁡ π sen ⁡ π + π cos ⁡ π = 1 π

Passo 3

Agora a gente precisa o ponto de tangencia. Para isso é só substituir t = π na parametrização da curva.

x π = π sen ⁡ π = 0

y π = π cos ⁡ π = - π

E temos o ponto ( 0 , - π )

Passo 4

E pronto! Agora temos tudo que precisamos para encontrar a equação da reta tangente. É só substituir na fórmula:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y + π = 1 π ( x - 0 )

y = 1 π x - π

Resposta

y = 1 π x - π

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