Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = ln ⁡ θ ,                     θ = e

Passo 1

Falaee, beleza??

Bom... O exercício fornece a seguinte curva em coordenadas polares:

r = ln ⁡ θ

Queremos calcular a inclinação da tangente no seguinte ponto:

θ = e

Para isso, lembre-se que

x = r cos ⁡ θ                 e                     y = r   s e n   θ

E que a inclinação da tangente é dada pela seguinte derivada:

d y d x = d y d θ d x d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular os valores de x e y lembrando que r = ln ⁡ θ :

x = ln ⁡ θ cos ⁡ θ

E

y = ln ⁡ θ   s e n   θ

Agora, vamos calcular a derivada d y d θ aplicando a regra do produto:

d y d θ = ln ⁡ θ '   s e n   θ + ln ⁡ θ   s e n   θ '

d y d θ = 1 θ s e n   θ + ln ⁡ θ cos ⁡ θ

De forma análoga, vamos calcular a derivada d x d θ aplicando a regra do produto:

d x d θ = ln ⁡ θ ' cos ⁡ θ + ln ⁡ θ cos ⁡ θ '

d x d θ = 1 θ cos ⁡ θ - ln ⁡ θ   s e n   θ

Passo 3

Agora vamos aplicar no ponto!!!

Usando θ = e , temos:

d y d θ = s e n   e e + cos ⁡ e

d x d θ = cos ⁡ e e - s e n   e

Portanto, aplicando da derivada d y d x , temos:

d y d x = s e n   e e + cos ⁡ e cos ⁡ e e - s e n   e

E, simplificando a expressão:

d y d x = s e n   e + e cos ⁡ e cos ⁡ e - e   s e n   e

Resposta

d y d x = s e n   e + e cos ⁡ e cos ⁡ e - e   s e n   e

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