Enunciado

Nos Exercícios 9 e 10, encontre uma equação para a reta no plano xy que seja tangente à curva no ponto correspondente ao valor determinado de t. Encontre também o valor de d2y/dx2 nesse ponto.

x = 1 2 t g   t ; y = 1 2 sec ⁡ t ; t = π 3

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Inicialmente iremos resolver os exercícios práticos sobre encontrar equações paramétricas e retas tangentes.

A partir dos valores de x e y fornecidos, sabemos que:

x = 1 2 t g   t = > d x d t = 1 2 sec 2 ⁡ t   e   y = 1 2 sec ⁡ t = > d y d t = 1 2 sec ⁡ t   t g   t

Escrevendo:

d y d x = d y d t d x d t = 1 2 sec ⁡ t   t g   t 1 2 sec 2 ⁡ t = t g   t sec ⁡ t = s e n   t cos ⁡ t ∙ cos ⁡ t = s e n   t

Aplicando o valor de t na primeira derivada, temos que:

d y / d x | t = π / 3 = s e n π 3 = 3 2

Para esse valor de t, temos ainda que:

x = 1 2 t g   π 3 = 3 2   e   y = 1 2 sec ⁡ π 3 = 1

Assim, teremos uma reta que satisfaz:

1 = a 3 2 + b ,   c o m   a = 3 2 = > b = 1 - 3 4 = 1 4

E a reta pedida é:

y = 3 2 x + 1 4

Passo 2

A derivada segunda é:

d 2 y d x 2 = d y ' d t d x d t = d d t s e n   t 1 2 sec 2 ⁡ t = cos ⁡ t 1 2 sec 2 ⁡ t = 2 cos 3 ⁡ t

No ponto pedido teremos que:

d 2 y / d x 2 | t = π / 3 = 2 cos 3 ⁡ π 3 = 2 ∙ 1 2 3 = 1 4

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

y = 3 2 x + 1 4 ;   1 4

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