Enunciado

Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.

Cardioide r = - 1 + cos ⁡ θ ;     θ = ± π / 2

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo que vou te ajudar no passo a passo deste exercício.

Relembrando que o coeficiente angular de uma curva polar r = f θ no plano x y é dado ainda por d y / d x , que não é r ' = d f / d θ . Para saber por que, pense no gráfico de f como o das equações paramétricas:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,         y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Se f é uma função derivável de θ , então x e y também o são e, quando d x / d θ ≠ 0 , podemos calcular d y / d x a partir da fórmula paramétrica:

d y d x = d y / d θ d x / d θ

Além disso, já vimos que a transformação de coordenadas cartesianas em polares é:

Então com a equação r = - 1 + cos ⁡ θ , podemos escrever da seguinte forma:

x = - 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ = - cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

y = - 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ

Jogando na equação do coeficiente angular, teremos o seguinte:

d y d x = d d θ 1 2 sen ⁡ 2 θ - sen ⁡ θ d d θ cos 2 ⁡ θ - cos ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Para θ = π / 2 , temos:

d y d x θ = π / 2 = cos ⁡ 2 π 2 - cos ⁡ π 2 sen ⁡ π 2 - 2 cos ⁡ π 2 sen ⁡ π 2 = - 1 - 0 1 - 0 = - 1

Então o coeficiente angular em ( - 1 ,   π / 2 ) é - 1 .

E para θ = - π / 2

d y d x θ = - π / 2 = cos ⁡ 2 - π 2 - cos ⁡ - π 2 sen ⁡ - π 2 - 2 cos ⁡ - π 2 sen ⁡ - π 2 = - 1 - 0 - 1 - 0 = 1

E o coeficiente angular em ( - 1 ,   - π / 2 ) é 1 .

Passo 2

Utilizando o programa computacional WolframAlpha, e definindo as tangentes nesse gráfico, temos:

Resposta

O coeficiente angular em ( - 1 ,   π / 2 ) é - 1 e em ( - 1 , -   π / 2 ) é 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva. x = t 3 - 3 t ,y = t 2 - 3
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva. x = t 3 - 3 t ,y = t 3 - 3 t 2
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva. x = e sen ⁡ θ ,y = e cos ⁡ θ
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + 2 c o s θ θ = π 3
Nos Exercícios de 33 a 36, ache a medida, em graus, do ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas em todos os pontos de intersecção.33. r = 1 - s e nθ r = 1 + s e nθ