Enunciado

Nos Exercícios 9 e 10, encontre uma equação para a reta no plano xy que seja tangente à curva no ponto correspondente ao valor determinado de t. Encontre também o valor de d2y/dx2 nesse ponto.

x = 1 + 1 t 2 ; y = 1 - 3 t ; t = 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Inicialmente iremos resolver os exercícios práticos sobre encontrar equações paramétricas e retas tangentes.

A partir dos valores de x e y fornecidos, sabemos que:

x = 1 + 1 t 2 = > d x d t = - 2 t 3   e   y = 1 - 3 t = > d y d t = 3 t 2

Escrevendo:

d y d x = d y d t d x d t = 3 t 2 - 2 t 3 = - 3 t 2

Aplicando o valor de t na primeira derivada, temos que:

d y / d x | t = 2 = - 3 2 ∙ 2 = - 3

Para esse valor de t, temos ainda que:

x = 1 + 1 2 2 = 1 + 1 4 = 5 4   e   y = 1 - 3 2 = - 1 2

Assim, teremos uma reta que satisfaz:

- 1 2 = 5 a 4 + b ,   c o m   a = - 3 = > b = - 1 2 + 15 4 = 13 4

E a reta pedida é:

y = - 3 x + 13 4

Passo 2

A derivada segunda é:

d 2 y d x 2 = d y ' d t d x d t = d d t - 3 t 2 - 2 t 3 = - 3 2 - 2 t 3 = 3 4 t 3

No ponto pedido teremos que:

d 2 y / d x 2 | t = 2 = 3 4 ∙ 2 3 = 3 4 ∙ 8 = 6

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

y = - 3 x + 13 4 ; 6

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