Calcule as integrais.

Passo 1

Olhando para essa parada dá ate medo né?

Vamos fazer uma substituição para melhorar a aparência daquela coisa, beleza?

Vamos chamar   u = e t ⟹ d u = e t d t . Daí,

∫   e t   t g 2 e t + 1     d t = ∫   t g 2 u + 1   d t

Agora melhorou a visão né? Até clareou as ideias. Oxente, menino, vê se não é aquela identidade trigonométrica t g 2 u + 1 = sec 2 ⁡ u

Então é só substituir ,

∫   t g 2 u + 1   d t = ∫   sec 2 ⁡ u     d u   ∫   sec 2 ⁡ u d u  

Perceba que ficou em módulo, pois tiramos da raiz, e claro, não calculamos raiz de números negativos.

Passo 2

Então é só resolver essa peste,

∫   sec 2 ⁡ u     d u   ∫   sec 2 ⁡ u d u   =   ⁡ ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u + C  

Voltando para a variável inicial,

∫   sec 2 ⁡ u d u   =   ⁡ ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u + C   =     ln ⁡ sec ⁡ e t + t g   e t + C  

Resposta

∫   e t   t g 2 e t + 1     d t = ln ⁡ sec ⁡ e t + t g   e t + C  

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