Enunciado

Calcule as integrais.

Passo 1

Olhando para essa parada dá ate medo né?

Vamos fazer uma substituição para melhorar a aparência daquela coisa, beleza?

Vamos chamar u = e^t ⟹ d u = e^t d t . Daí,

int e^t sqrt(t g^2 e^t + 1) d t = int sqrt(t g^2 u + 1) d t

Agora melhorou a visão né? Até clareou as ideias. Oxente, menino, vê se não é aquela identidade trigonométrica t g^2 u + 1 = sec^2 u

Então é só substituir ,

int sqrt(t g^2 u + 1) d t = int sqrt(sec^2 u) d u int |sec^2 u| d u

Perceba que ficou em módulo, pois tiramos da raiz, e claro, não calculamos raiz de números negativos.

Passo 2

Então é só resolver essa peste,

int sqrt(sec^2 u) d u int |sec^2 u| d u = ln |sec u + t g u| + C

Voltando para a variável inicial,

int |sec^2 u| d u = ln |sec u + t g u| + C = ln |sec e^t + t g e^t| + C

Resposta

int e^t sqrt(t g^2 e^t + 1) d t = ln |sec e^t + t g e^t| + C

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